Luce e Materia
Prendiamo la figura seguente:
Sulla sinistra abbiamo un cilindro di raggio r. Su di esso è stata disegnato una linea elicoidale che ha una passo “p“. Tagliamo ora il cilindro lungo la linea di taglio e poi lungo la linea elicoidale. Se apriamo quello che ci rimane, otteniamo un triangolo rettangolo, la cui base è pari a 2pr ed altezza pari a “p“. Per l’ipotesi che abbiamo fatto nel capitolo “Luce e Materia” la linea elicoidale è pari a l. Abbiamo quindi la situazione della figura seguente:
Applicando il teorema di Pitagora al triangolo qui in alto possiamo scrivere che:
Per l’osservatore esterno, tale percorso elicoidale è talmente piccolo da non poter essere rilevato facilmente, per cui a lui sembrerà che l’onda si muove con una velocità “apparente” pari a v. Ne consegue che il percorso “p” è pari a vt, dove t è il periodo (cioè 1/ f oppure l/c). Pertanto la relazione precedente si riscrive nel seguente modo:
da cui si ha:
che risolta rispetto ad r dà:
Come si può vedere il raggio di curvatura del fotone ha una dipendenza relativistica rispetto alla velocità dell’onda apparente, pur non avendo introdotto nessuna ipotesi relativistica.
In particolare, per v che tende a c, il
raggio r tende a zero, ovvero l’onda
si comporta nuovamente come un’onda aperta. E’ importante osservare che questa
relazione tra il raggio e la velocità apparente è in perfetta armonia con la
relatività. Infatti, mano a mano che v
aumenta r diminuisce e
conseguentemente aumenta la densità di campo localmente. Questo aumento di
campo (in funzione del termine sotto radice) fa sì che la massa associata
all’onda debba aumenti dello stesso fattore. Contrariamente a quello che
succede per la teoria della relatività, dove per v=c si ha una singolarità non eliminabile che implicherebbe una
massa infinita; nel nostro caso invece l’inghippo matematico è risolto
affermando che per v=c l’onda ritorna
ad essere un’onda aperta. In questo modo si aggiusta una piccola incongruenza
che anche lo stesso Einstein aveva notato nella sua relatività.